Chern-Griffiths 定理

设 $X$ 是 $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^{n+1}$ 中的一个度为 $d$ 的非奇异曲面, 其不包含在任何超平面中.

(1) 若 $d < 2n$, 则 $p_g(X)=0$.

(2) 若 $d=2n$, 则或者 $p_g(X)=0$,
                      或者 $p_g(X)=1$ 且 $X$ 是一个 $K3$ 曲面.

[Hint] 用一个超平面取切 $X$, 然后利用 Clifford 定理. 对于最后一个问题, 在 $X$ 上利用 Riemann-Roch 定理以及 Kodaira 消灭定理(Kodaira vanishing theorem).

[原文]

Prove the following theorem of Chern and Griffiths.

Let $X$ be a nonsingular surface of degree $d$ in $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^{n+1}$, which is not contained in any hyperplane.

If $d < 2n$, then $p_g(X)=0$. if $d=2n$, then either $p_g(X)=0$, or $p_g(X)=1$ and $X$ is a $K3$ surface.

[Hint: Cut $X$ with a hyperplane and use Clifford's theorem (IV, 5.4). For the last statement, use Riemann-Roch theorem on $X$ and the Kodaira vanishing theorem (III, 7.15).]